DESCRIPCIÓN DEL
CURSO
La teoría de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (E.D.O) juega un papel importante en el estudio y
modelación de muchos problemas en ciencia y tecnología; en particular en el
desarrollo de las Matemáticas Aplicadas. Algunas personas consideran que la
piedra angular en esta Teoría es el Teorema
de Existencia y Unicidad de soluciones de las E.D.O, el cual tiene como
punto de partida el Teorema del punto
fijo de Banach. Esto constituye suficiente razón para estudiar los espacios normados completos: Espacios de Banach y los espacios funcionales.
Como una generalización a
lo realizado en el curso Análisis Real I; consideraremos sucesiones sobre
espacios funcionales y con valores en Ñ ó Â; asímismo series de
potencia y series de funcionales.
En el desarrollo de la
Probabilidad y la Estadística es necesario considerar tipos de integrales más
generales que la ya conocida integral de
Riemann, la cual ha sido ya estudiada en los cursos de Cálculo Diferencial
e Integral. Es nuestro propósito considerar una de estas generalizaciones: La integral de Riemann-Stieltjes (R-S).
Se mostrará, durante el curso, que la integral de Riemann es un caso particular
de esta última.
OBJETIVO GENERAL
Proporcionar herramientas
del Análisis articuladas a las otras ramas de la matemáticas.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
1. Intruducir al estudiante en
el conocimiento y desarrollo de los espacios funcionales.
2. Proporcionar una
generalización de la integral de Riemann.
3. Familiarizar al estudiante con los espacios de Banach.
CAPÍTULO I INTEGRALES DE
RIEMANN-STIELTJES
1.1
Definición de la intergral de
Riemann-Stieltjes.
1.2
Propiedades de la integral de
Riemann-Stieltjes.
1.3
Integración por partes.
1.4
Funciones escalonadas como integradores.
1.5
Teoremas
de comparación.
1.6
Integradores
de variación acotada.
1.7
Condiciones
suficientes y necesarias para la existencia de la integrale de R-S.
1.8
Integrales
de R-S dependientes de un parámetro
CAPÍTULO II: SUCESIONES Y SERIES
FUNCIONALES
2.1
Definición
de convergencia uniforme.
2.2
Convergencia
uniforme y continuidad.
2.3
Convergencia
uniforme e integración.
2.4
Convergencia
uniforme y derivación.
2.5
Series
funcionales Teorema de Abel, Weierstrass y Cauchy.
2.6
Familias equicontinuas.
2.7
Teorema
de Árzela-Ascoli y Teorema de Stone-Weierstrass.
2.8
Integrales dependientes de un parámetro y su
derivada.
2.9
Funciones Gamma y Betta.
CAPÍTULO III INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS
DE BANACH
3.1
Espacios
normados. Normas equivalentes.
3.2
Topología
inducida por una norma.
3.3
Sucesiones
de Cauchy y Completitud.
3.4
Definición
de espacio de Banach.
3.5
Contracciones.Teorma
del punto fijo de Banach. Aplicaciones.
METODOLOGÍA
El curso se puede
desarrollar a través de tres (3) horas expositivas semanales del profesor y
una (1) hora semanal de taller en la cual se resuelvan dudas sobre la teoría y
sobre los talleres y problemas propuestos por el profesor, bien sea del texto
guía o de problemas entregados por él en forma separada. Asi mismo el profesor
podrá proponer exposiciones a los estudiantes.
EVALUACIÓN
La evaluación deberá ser
concertada entre el profesor y el grupo, manteniéndose dentro de los
lineamientos que para este efecto tiene estipulado la Universidad.
BIBLIOGRAFÍA
El texto guía recomendado para el desarrollo de
este curso es [1]. Sin embargo, para consultas, en especial lo referente a topología en Ñn, recomendamos [4] y [6]; [5] para un estudio más formal de
dichos conceptos; [3] realiza un desarrollo demasiado formal y es recomendable
como referencia de alto nivel; [2] nos
introduce al análisis real desde un punto de vista formal.
1. APOSTOL, Tom. Análisis
Matemático. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1991. Capítulos 1 a 6.
(Número
de clasificación: 515.1 A645A , Número
de ejemplares: 7 copias en colección general y 6 en reserva).
2. BARBOLLA, R.M y otros.
Introducción al Análisis Matemático, Editorial Alhambra S.A., España, 1981.
Capítulos 1-3 y 5.
3. DIEUDONÉ, J. Fundamentos de
Análisis Moderno, editorial Reverté, Barcelona, 1976.
(Número
de clasificación: 515.7 D567.
Número de ejemplares: 1 copia en colección general)
4. BURGOS, Juan de. Cálculo
infinitesimal de varias variables, editorial McGraw-Hill, Madrid, 1995. En el capítulo 1 se realiza una introducción
a la topología en Ñn sin desprenderse de una
visión intuitiva y geométrica de los conceptos estudiados.
5. RESTREPO, Guillermo.
Funciones de una variable real: teoría elemental, editorial Universidad del
Valle, 1995. Capítulos 1-3. El desarrollo seguido en este texto requiere un
poco más de madurez que en los textos anteriores. Los conceptos, teoremas y
demostraciones se presentan a un nivel axiomático alto.
6. RUDIN, Walter. Principios
de Análisis Matemático, tercera edición, editorial McGraw-Hill, México, 1980.
(Número
de clasificación: 515 R196. Número
de ejemplares: dos copias en colección general)