DESCRIPCIÓN DEL
CURSO
Este es un curso elemental
de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, fundamental en los programas de estudio
en el nivel de Licenciatura en Ciencias o de Ciencias y en los programas de
Ingeniería y Economía. El desarrollo de los temas le permite al estudiante
comprenda la relación que hay entre las matemáticas y las ciencias físicas o la
ingeniería, abordar problemas dinámicos lineales formular el problema y
analizarlo desde el punto de vista de las matemáticas y para que con un poco de
lectura aborde el estudio de algunos problemas elementales no lineales.
El programa se desarrolla en 60 horas
presenciales y comprende una amplia variedad de temas de la teoría elemental de
las Ecuaciones Diferenciales: orígenes, muchos problemas de la vida real en los
distintos campos de la física, la química, biología, la economía etc dan origen
a las ecuaciones diferenciales, generalidades, relaciona los conceptos básicos
que definen las ecuaciones en esta parte se destaca el teorema de existencia y
unicidad para problemas de ecuaciones de primer orden, métodos de solución y
análisis de ecuaciones
Diferenciales de primer
orden, teoría de las ecuaciones diferenciales lineales Transformada de Laplace, soluciones aproximadas por series, métodos
numéricos y métodos cualitativos geométricos y sus aplicaciones en problemas
físicos, químicos y Biológicos.
OBJETIVOS
GENERALES
1.
Interpretar
situaciones de fenómenos en términos de modelos matemáticos que introducen
ecuaciones diferenciales y analizar las ecuaciones que se involucran.
2.
Aplicar
el estudio de las ecuaciones diferenciales a la geometría, la Ingeniería, las ciencias tales como física, biología,
economía etc.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
1. Resolver problemas que
involucren ecuaciones diferenciales de primer orden que tienen un modelo de
solución conocido
2. Identificar y resolver problemas que están relacionados con
ecuaciones diferenciales lineales
3. Aplicar la transformada de
Laplace para resolver Ecuaciones diferenciales
4. Aplicar las series de
potencias en la solución de ecuaciones diferenciales ligadas a problemas de la
física resaltando fundamentalmente la Ecuación de Bessel y Legendre
CONTENIDO DEL CURSO
CAPÍTULO I GENERALIDADES
1.1
Definición
y orígenes de las ecuaciones diferenciales
1.2
Clasificación
de las Ecuaciones Diferenciales
1.3
Naturaleza
de las soluciones de las ecuaciones diferenciales
1.4
Problemas
de valor inicial, de contorno y existencia de soluciones
1.5
Campos
de dirección y el método de aproximación de Euler y Euler mejorado
CAPÍTULO II ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
LAS QUE SE PUEDE OBTENER SOLUCIONES EXACTAS
2.1
Ecuaciones
Exactas y factor integrante
2.2
Ecuaciones
separables y cambios de variables
2.3
Ecuaciones
Lineales, de Bernoulli y de Riccati
2.4
Factor
integrante y transformaciones lineales
5.1
Ecuación
de Clairaut
CAPÍTULO III APLICACIONES DE LAS
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
3.1
Trayectorias
Ortogonales y Oblicuas.
3.2
Algunos
problemas físicos (Mecánica, Circuitos)
3.3
Problemas
relacionados con coeficientes de variación instantánea (Problemas de población,
Mezclas etc)
CAPÍTULO IV ECUACIONES LINEALES DE
ORDEN SUPERIOR
6.1
Teoría
General de las Ecuaciones lineales de n-ésimo orden
6.1
Ecuaciones
Homogéneas con coeficientes constantes
6.1
Método
de los coeficientes indeterminados
6.1
Método
de Variación de Parámetros
6.1
Ecuación
de Cauchy- Euler
CAPÍTULO V APLICACIONES DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
5.1
Vibraciones
mecánicas (amortiguada, No amortiguada, forzada y no forzada)
5.2
Circuitos
eléctricos
CAPÍTULO VI LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
6.1
Definición
de transformada de Laplace
6.2
Transformada
inversa
6.3
Linealidad
6.4
Transformada
de Laplace de derivadas e integrales
6.5
Fracciones
Parciales
6.6
Solución
de problemas con valor inicial aplicando transformada de Laplace
6.7
Derivación
e integración de las transformadas
6.8
Función
escalón y función impulso
6.9
Ecuaciones
diferenciales con funciones de fuerza discontinua
6.10 Traslación sobre el eje t
6.11 Funciones periódicas
6.12 Integral de convolución
6.13 Ejercicios de aplicación
CAPÍTULO VII SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
7.1
Breve repaso de álgebra lineal si es necesario
7.2
Definición de un sistema lineal de primer orden.
7.3
Teoría básica de los sistemas lineales de primer orden,
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
7.4
Matriz de soluciones fundamentales Sistemas no homogéneos
CAPÍTULO VIII SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE SERIES.
8.1
Solución mediante
series de potencia en un punto ordinario
8.2
Solución en el entorno de un punto singular regular (método
de Frobenius)
8.3
Ecuación de Bessel
CAPÍTULO IX MÉTODOS NUMÉRICOS A LA SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (OPCIONAL).
9.1
Método de Euler o de la recta tangente
9.2
Errores en los procedimientos numéricos
9.3
Método de Euler mejorado.
9.4
Método de Runge – Kutta
METODOLOGÍA
Se
desarrollan tres (3) hora s de clase magistral a la semana junto con una (1) de
taller.
EVALUACIÓN
El tipo de evaluación y la
respectiva ponderación deben ser concertadas, el primer día de clase, con los
estudiantes y teniendo en cuenta el reglamento estudiantil de la universidad
del Cauca.
BIBLIOGRAFÍA
1.
AYRES,
Frank. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill. Madrid. 1970.
El código con el cual se encuentra
en la biblioteca central es: 515.35076A985T .
En
total se encuentran 16 textos.
2.
BOYCE,
William E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 4 Ed. Limusa Wiley. México.
1972.
El código con el cual se encuentra
en la biblioteca central es: 515.35 B789 .
En
total se encuentran 6 textos
3.
KREYSZIG, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Cuarta
Edición. Editorial
Limusa Wiley.
El código con el cual se encuentra en
la biblioteca central es: 510K92M .
En
total se encuentran 7 textos
4.
MORRIS, Max y Orley E. Brown. Ecuaciones Diferenciales. 3
Ed. Aguilar. Madrid. 1967. 515.352 P818E. 1 Libro Colgeneral.
El código con el cual se encuentra
en la biblioteca central es: 515.35 M877.
En
total se encuentran 4 textos
5.
ROSS,
Shepley L. Differential equations. Tercera Edición. Interamericana S.A. 1982.
El código con el cual se encuentra
en la biblioteca central es: 515.35 R826 .
En total
se encuentran 2 textos
6.
ZILL,
Dennis. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones. Grupo editorial
Iberoamericana. 1998.
El código con el cual se encuentra en la biblioteca
central es: 515.35Z69 .
En
total se encuentran 3 textos