DESCRIPCIÓN
DEL CURSO
En
los problemas prácticos de la Física y la Ingeniería es necesario el estudio de
los campos vectoriales. Un campo vectorial es una función cuyo dominio es un
subconjunto de 
y que toma valores en 
. Los campos vectoriales más importantes, son los que asocian
puntos del plano o del espacio con vectores bien sea del plano o del espacio.
La trayectoria descrita por un corcho dentro de un remolino puede ser
considerada como un campo vectorial.
El interés de este
curso es desarrollar los conceptos de diferenciación e integración en campos
vectoriales. Estos mismos conceptos han sido ya introducidos en las funciones
reales de valor real y las funciones reales de valor vectorial, a través de los
cursos de Cálculo Diferencial e Integral.
En la Teoría
Electromagnética, en la Geometría Diferencial y, por qué no decirlo, en las
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
es de naturaleza verdaderamente imprescindible el conocimiento de los Teoremas de Green
y de la Divergencia. Sin esta teoría no es posible acceder y comprender por
ejemplo las leyes de Maxwell del electromagnetismo. De manera similar se
estudiará el concepto de integral de superficie y, naturalmente, el Teorema de Stokes. Hablando sin rigor, puede imaginarse la integral de
superficie como el equivalente en dos dimensiones a la integral de línea,
siendo ahora la región de integración una superficie en lugar de una curva.
OBJETIVO GENERAL
Generalizar los
conceptos estudiados en los cursos de cálculo anteriores.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.
Contribuir en la formación de
habilidades que permitan apropiar adecuadamente la interpretación de
situaciones físicas en términos de modelos matemáticos.
2.
Presentar el Cálculo Vectorial
como una de las ramas de la Matemática con gran aplicación en las Ciencias
Naturales y las Tecnologías contemporáneas.
CONTENIDO
CAPÍTULO I CÁLCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS VECTORIALES
1.1
Funciones de 
en 
1.2
Nociones de Topología en
1.3
Diferenciabilidad y
continuidad. Derivada total.
1.4
Matriz Jacobiana y
Regla de la cadena en versión matricial.
1.5
Condición suficiente para la igualdad de las
derivadas parciales mixtas.
1.6
Aplicaciones del cálculo diferencial.
Ecuaciones Diferenciales Parciales elementales.
CAPÍTULO II FUNCIONES IMPLÍCITAS EN CAMPOS VECTORIALES Y PROBLEMAS DE EXTREMOS EN CAMPOS
ESCALARES.
2.1
Teorema de la Función Inversa
2.2
Teorema de la Función Implícita
2.3
Extremos Condicionados.
Multiplicadores de Lagrange
CAPÍTULO
III TEORÍA
DE INTEGRACIÓN EN CAMPOS VECTORIALES
3.1 Funciones Escalonadas e Integración
3.2 Integrabilidad de
funciones contínuas
3.3 Aplicaciones del Cálculo Integral a problemas de Área y Volumen.
Teorema de Pappus.
3.4
Cambio de Variable en Integrales
Múltiples
3.5
Integrales de Superficie
3.6
Teorema de Stokes y
Teorema de Gauss
METODOLOGÍA
El curso se
puede desarrollar a través de tres (3)
horas expositivas semanales del profesor y una (1) hora semanal de
taller en la cual se resuelvan dudas sobre la teoría y sobre los talleres y
problemas propuestos por el profesor, bien sea del texto guía o de problemas
entregados por él en forma separada. Así mismo, el profesor podrá proponer
exposiciones a los estudiantes.
EVALUACIÓN
La evaluación
deberá ser concertada entre el profesor y el grupo, manteniéndose dentro de los
lineamientos que para este efecto tiene estipulado la Universidad.
BIBLIOGRAFÍA
La bibliografía recomendada
se puede discriminar de la siguiente forma: para desarrollar el capítulo 1 se
sugiere [1], capítulos 8 y 9; para el capítulo 2 se recomienda [2], capítulo
13; para el tercer capítulo se sugiere [1], capítulos 11 y 12. Además, es
recomendable [3] y [4] para una lectura más accesible en lo que respecta a la
teoría de campo vectorial (capítulo 3); [5] y [6] hacen una presentación de un
nivel un poco superior a los dos textos anteriores. El texto [7] sirve también
como referencia para los capítulos 1 y 2, respectivamente. Este texto es de un
nivel considerable.
1.
APOSTOL, Tom.
Calculus Volumen I. Editorial Reverté
Colombia, S.A., 1988. Capítulos 8, 11 y 12.
(Número de clasificación: 515.1 A645.
Ejemplares disponibles: 15 copias de colección general).
2.
APOSTOL, Tom.
Análisis Matemático. Editorial Reverté S.A.,
Barcelona, 1991. Capítulo 13. (Número de clasificación: 515.1 A645A. Ejemplares
disponibles: 7 copias de colección
general).
3.
EDWARDS, C.H., PENNEY, David. Cálculo con Geometría
Analítica. Cuarta edición. Prentice Hall, 1996. Capítulos 15 y 16. (Número de clasificación:
515.15 L334. Ejemplares
: 19 copias de colección general).
4.
LARSON y Otros. Cálculo y Geometría Analítica,
Volumen II. Quinta Edición. McGraw Hill, 1995.
Capítulos 15, 16 y 17 (Número de clasificación: 515.15 L334. Ejemplares disponibles: 9 de colección general y 7 de reserva)
5.
PISKUNOV, N. Cálculo
Diferencial e Integral, Volumen I. Editorial Mir,
Moscú, 1997. (Número de clasificación: 515.3 P667 6ED. Ejemplares disponibles: 7 copias de colección de reserva).
6.
PISKUNOV, N. Cálculo
Diferencial e Integral, Volumen II. Editorial Mir,
Moscú, 1997. (Número de clasificación: 515.3
P667 6ED. Ejemplares disponibles: 6 copias de colección de reserva).
7.
RESTREPO, Guillermo. Análisis
en . Editorial Universidad del Valle, 1997.